Simetrías

Simetría central: 2 puntos A-A’ son simétricos respecto a un 3º punto O cuando al trazar una recta que pasa por los 3 se tiene OA= OA’. Un ejemplo práctico de simetrías es el que se produce en los espejos.




Simetrías:
La simetría axial transforma un punto en otro punto respecto a una recta llamada eje de manera que el segmento que une los dos puntos simétricos es perpendicular al mismo, y ambos puntos están a la misma distancia del eje de simetría. La simetría es un desplazamiento inverso en la que todos los puntos del eje son invariantes.

La simetría central transforma un punto en otro punto respecto a un centro fijo, de manera que la distancia de ese punto al centro es igual que la distancia del centro al simétrico de ese punto.

Producto de simetrías axiales: el producto de dos simetrías axiales respecto a ejes paralelos es una traslación del primer elemento al que se aplica la primera simetría. Si se aplica un producto de simetrías axiales en el que se cortan los ejes de simetría, tenemos un giro cuyo centro es el punto de corte de ambos ejes de simetría, siendo la amplitud o ángulo de ese giro el doble del ángulo entre ambos ejes.

La simétrica central de una recta m es siempre paralela a ella: m'.
Para trazar la simétrica central de una figura, basta con unir cada punto de ella: A, con el centro de simetría O mediante una recta y situar sobre la misma a igual distancia su simétrico A', de manera que O quede en el centro de AA'.

Un polígono irregular se transforma en otro m

ediante una simetría central. Cada punto A y su simétrico A’ dejan al centro de la simetría O en el punto medio y cada recta se transforma en su simétrica manteniendo el paralelismo. El segmento m se transforma en el segmento m’ y tras aplicar la simetría ambos permanecen paralelos.

Triángulo rojo simétrico del verde desde el centro O. Para calcular una figura simétrica central, se une el punto A con el centro de simetría O mediante un segmento que prolongamos. Tomamos la distancia OA como radio, haciendo centro en el punto O hacemos un arco hasta que corte a su prolongación en el punto A’. El pu

nto A’es el simétrico de A respecto al centro O. Con los demás puntos se opera de igual forma.

La figura simétrica central de otra que es la misma figura original girada 180° tomando el centro de simetría como centro de giro.

Triángulos simétricos respecto al centro O.

Trapezoide simétrico de otro respecto al centro P.

Simetría axial: 2 puntos A A' son simétricos respecto a una recta (eje de simetría) cuando al unirlos resulta una perpendicular a los mismos (en verde) y el punto medio del segmento perpendicu

lar está sobre la recta llamada eje. 2 figuras simétricas axiales (en rojo y ocre) son inversamente iguales, esto es, de sentido contrario.

En la figura observamos los dos tipos de simetrías planas que existen: a la derecha un trapezoide amarillo tiene por simétrico a otro de color rojo. Observamos que cada punto tiene su homólogo a igual distancia respecto al eje de simetría, por tanto su imagen está sobre la recta perpendicular al eje y a igual distancia del eje de simetría.
En el caso de la simetría central (en la figura de la izquierda) tenemos que cada punto del trapezoide ABCD tiene por simétrico a otro que está a igual distancia respecto al centro de simetría O. Se tiene además que cada par de puntos simétricos A A’ están alineados siempre con el centro de simetría O, por lo que se puede hacer una circunferencia cuyo centro O sea el de simetría y cada par de puntos simétricos forman parte de los polos opuestos de cada diámetro de la circunferencia que definen ambas puntos simétricos.

Observamos que podemos obtener una figura respecto de la otra por un simple giro de 180°, se puede comprobar también que el paralelismo resulta invariable, los lados de la figura tienen sus lados simétricos paralelos (por ejemplo, el lado AB que es paralelo al lado A’B’).

Ejercicio resuelto por simetría:

Se trata de calcular la distancia más corta entre los dos puntos A B pero tocando la recta e.

Un ejemplo práctico podría ser el cálculo sobre un plano de la distancia más corta entre dos puntos del desierto A B pero desviándonos hacia una recta e que representa un río en el que hay que coger agua.

Para desplazarnos desde el punto B hasta el punto A tocando a la recta e, consideramos ésta como el eje de simetría y calculamos el punto simétrico de A, que es A'. Alineamos A' con B y en el punto de intersección P hacemos una recta hasta A. la línea poligonal BPA es la distancia más corta entre dos puntos AB tocando a la recta e, ya que BA' es una línea recta, la distancia más corta entre dos puntos, y PA=PA', por lo que BA'=BA.

Otro ejemplo de simetrías lo tenemos en la reflexión de los objetos: un objeto reflejado es el simétrico del original: cálculo de reflejos.

Superficie reflectante 

Existe una simetría espacial entre los elementos que se reflejan en una superficie reflectante: aparte de proyectar las sombras desde una luz puntual que provoca que las sombras de los segmentos verticales no sean paralelas, la figura refleja los elementos interiores como prismas, de esta forma tenemos que la simétrica espacial del punto C es el punto C’. Aparte de reflejar los prismas, también refleja las sombras y la luz: la sombra B que arroja el prisma más pequeño se proyecta mediante una simetría espacial teniendo como imagen el punto B’. De la misma forma la sombra proyectada que pasa por el punto D obtiene su imagen simétrica sobre la cara del prisma vertical en el punto D’. Para obtener por tanto la reflexión de todos los elementos, basta con proyectar punto por punto sobre el plano reflectante, de manera que la distancia del punto A al plano de reflexión es igual que la distancia del plano de reflexión al punto reflejado A’.

La tonalidad de las reflexiones tiene un valor más oscuro allí donde hay sombra (eso quiere decir que sobre las zonas de luz se definen menos los elementos reflejados), de la misma manera la reflexión es más intensa si se superpone a la oscuridad de la sombra propia del objeto.

Simetría espacial.

En una simetría plana los elementos obtienen su imagen sobre el mismo plano, siendo el eje la mediatriz del segmento que une cada punto y su simétrico. En la simetría espacial, cada elemento tiene su simétrico a igual distancia pero en vez de ser respecto una recta lo es respecto a un plano. Como podemos observar en el dibujo el prisma orientado en posición oblicua respecto al plano verde g se proyecta punto por punto a igual distancia por debajo del plano que por encima, de esta forma se obtiene su figura inversa por debajo del plano, que es su simétrica en el espacio. De esta forma el punto A se transforma en A’, B se transforma en B’, siendo la recta A-A’ perpendicular al plano y estando éste situado en el punto medio Ac del segmento A-A’. Como podemos observar si el plano verde continuara y fuera un espejo, su reflexión sería la figura que se ve proyectada abajo.

Ejercicios resueltos por simetrías: Dado un cuadrilátero ABCD, determinar el punto E de su perímetro desde el que se ven los segmentos AB y CD bajo el mismo ángulo.

Dado un punto B y dos rectas verdes (una de ellas sobre él), determinar un punto H sobre la recta BA que equidiste de B y de la recta AD.

Dadas dos rectas (en color verde), se trata de calcular un punto H que tenga la misma distancia respecto a una de las rectas AD que a otro punto B sobre otra de las rectas. Construimos desde B una recta perpendicular a la otra recta verde obteniendo de esta forma BD. Por un punto cualquiera C de la recta verde AD hacemos otra perpendicular a AD hasta que corta a la otra recta en el punto E. En este punto hacemos una circunferencia cuyo radio es EC. La circunferencia corta a la recta AB en el punto F que unido al punto C determina la recta CF. Observamos que si hacemos la mediatriz de esta recta obtenemos el centro de la circunferencia E, punto que equidista de la recta verde AD y del punto F. De la misma forma si construimos una recta paralela a la recta FC por B tenemos la recta BG, cuya mediatriz determina el punto buscado H. HB=HG. Dado un punto D sobre una recta morada y una circunferencia verde, determinar un punto G sobre la recta morada que equidiste de la circunferencia verde y del punto D. Dada una recta (en el dibujo en color morada) y un punto D sobre esta recta, así como una circunferencia exterior (en color verde), se trata de calcular un punto G sobre la recta morada que equidiste de la circunferencia verde y del punto dado D. Hacemos por el centro A de la circunferencia verde una recta paralela a la recta morada dada, de esta manera obtenemos en la intersección con la circunferencia el punto E, punto por el que hacemos una recta paralela a la dirección AD. Esta dirección por E corta a la recta morada en el punto F. Tomando el segmento FA y construyendo su mediatriz obtenemos en la intersección con la recta morada el punto G, que es la solución ya que equidista de la circunferencia verde y del punto D.