Homologías

2 rectas son homólogas BC y B'C' cuando se cortan en una recta G llamada eje y tienen todos sus puntos alineados OBB' OCC' sobre rectas que inciden en un punto O llamado centro de homología.

Las homología se puede percibir en la realidad en cualquier objeto y sus sombras: la sombra que arroja sobre una superficie y la línea que separa la luz de la sombra del objeto son formas homólogas pues cada punto de sombra arrojada A’ tiene el correspondiente en el objeto A, por tanto OAA’ están siempre alineados.
Si cogemos un par de puntos de la sombra A’B’ y hacemos una recta que pasa por ellos se cortan en el mismo punto P que sus homólogos de la sombra del cuerpo AB, esto es, las rectas homólogas se cortan en otra llamada eje que es la intersección del plano de sombra propia del objeto que pasa por AB y del plano de sombra arrojada A’B’V’.


Otro ejemplo de homología es laperspectiva de un objeto que dibujamos sobre un papel o cristal:
El cuadrado magenta se “ve” desde O como el cuadrilátero azul, quiere decir que son perspectivos y esto es una homología ya que si prolongamos la recta A’B’ y su homóloga AB, ambas se cortan en P que es un punto del eje o el equivalente a la línea de tierra en la perspectiva cónica.
La otra propiedad de la homología también se cumple: los puntos homólogos AA’ (o perspectivos) están alineados con O.
Si los cuadriláteros son perspectivos desde un centro O, también lo son desde un eje (esto quiere decir que las rectas homólogas se cortan en el eje) y recíprocamente si lo son desde un eje también lo son desde el centro O. Si esta homología la aplicamos a un triángulo tenemos un teorema esencial de la geometría proyectiva de los triángulos perspectivos (el teorema de Desargues): “Si 2 triángulos son perspectivos desde un eje también lo son desde el centro, la recíproca es cierta, si lo son desde el centro también desde el eje”.
Si establecemos una nueva homología en la que el nuevo centro está en el infinito y el cuadrado magenta se transforma en el amarillo mediante proyección de sus puntos por líneas paralelas B’(B’), tenemos un caso particular de la homología llamado afinidad en la que se conserva el paralelismo.
Un cuadrado se transforma en otro mediante un giro (abatimiento del plano) y como todos los puntos del cuadrado magenta se pueden transformar en los de otro amarillo mediante paralelas tenemos que el abatimiento es una afinidad, ya que persisten las propiedades de la homología: las rectas homólogas se cortan en el eje y los puntos homólogos afines B’(B’), están alineados con el centro que está en el infinito en la dirección B’(B’).

El teorema de Desargues en el espacio: si una pirámide de vértice O es seccionada por 2 planos generando como secciones 2 triángulos a a’, al prolongar los lados respectivos de los triángulos se cortan en tres puntos P Q R de la intersección de los 2 planos (el eje), por lo que éstos están alineados. Recíprocamente, el hecho de que los dos triángulos tengan como intersección P Q R en la prolongación de sus lados respectivos, significa que son secciones de una pirámide de vértice O.

En el espacio, como en el plano: si 2 triángulos no coplanares son perspectivos desde un centro O, lo son desde un eje y recíprocamente si los son desde un eje lo son desde el centro O. La demostración es sencilla: cada plano que contiene a cada par de lados homólogos corta al eje en un punto, por lo que los tres son colineales.



Si dos rectas, AB, A'B', son homólogas se cortan en un punto P de una recta llamada eje y todos los puntos homólogos (por ejemplo AA') están alineados con otro, O, llamado centro de proyección.


En una homología plana dos figuras son homólogas cuando se corresponden de manera que los puntos homólogos están alineados con otro llamado centro y las rectas homólogas se cortan en una recta llamada eje.
Todos los puntos del eje son homólogos de sí mismos por lo que se dice que son dobles y todas las rectas que pasan por el centro de proyección también.

Una homología puede quedar determinada:
1- Por el centro de proyección, por una recta límite y el eje.
2- Por dos puntos homólogos de otros dos y la dirección del eje.
3- Por dos puntos homólogos, el eje y el centro de proyección.
4- Por dos puntos homólogos, el eje y la recta límite.


1 En este primer caso, nos dan el centro O, la recta límite y el eje. Hacemos un punto cualquiera A del que vamos a obtener su homólogo, por A hacemos una recta cualquiera s hasta que corte a la recta límite en un punto que unimos con el centro de proyección O, obteniendo de esta forma la recta p. Donde la recta s corta al eje hacemos una recta t paralela a la recta anterior p. Hacemos una recta que pasa por el centro de proyección O y por A y en la prolongación obtenemos en la intersección con la recta t el homólogo del punto A que es el punto A’.


2 Nos dan un par de puntos homólogos, la dirección del eje o de cualquier recta límite y el centro de proyección O. Hacemos la recta que une los puntos AB y la recta que une los puntos A’B’. Como las rectas homólogas se cortan en el eje, por el punto de intersección de las dos rectas hechas pasa el eje.
Hacemos por el centro de proyección O una recta paralela a la que definen los puntos AB y en la intersección de la prolongación de la recta que definen los puntos A’B’ tenemos el punto por donde pasa la recta límite según la dirección dada. Para calcular la otra recta límite se opera de igual forma.



3 Nos dan un par de puntos homólogos, el centro de proyección y el eje. Para calcular la recta límite hacemos una recta cualquiera d que pase por A. Ésta recta corta al eje en un punto que unimos con su homólogo A’, obteniendo de esta forma la recta f, a la que hacemos una paralela por el centro de proyección O obteniendo la recta v. La intersección de las dos rectas dv determina un punto por donde pasa la recta límite que es siempre paralela al eje. Todos los puntos de la recta d tienen sus homólogos sobre la recta f, de manera que las rectas que alinean cada par de puntos homólogos de ambas rectas son una radiación, esto es, un conjunto de rectas que pasan por el centro de proyección O.


4 Nos dan dos puntos homólogos AA’, la recta límite y el eje. Hacemos una recta cualquiera que pase por uno de los puntos homólogos A, por ejemplo la recta k. Por el punto de intersección de la recta k con el eje hacemos una recta t que pase por el homólogo A’.
Por el punto de intersección de la recta k con la recta límite, hacemos una recta s paralela a la recta t. En la intersección de la recta s con la recta AA’ obtenemos el centro de proyección O de la homología.



Para calcular la homóloga de una figura 1-2-3-4-5, dado el eje, el centro proyectivo, y un punto homólogo de la figura, el 3' por ejemplo, se pasa una línea por dos puntos de la figura: 3-1 hasta que la prolongación corte al eje. En el punto de corte con el eje se une con el 3' y donde corte a la prolongación de la recta C-1, encontraremos el punto 1'.
Los demás puntos se calculan análogamente: 4 con 1 determina una recta que corta al eje por donde se pasa otra recta que pasa por 1' y que se interseca con C-1 en 4', etc.

Si nos dan dos puntos homólogos AA’, el centro O y el eje e, nos pueden pedir calcular el homólogo de otro punto dado, por ejemplo B.
Se alinea A con B y donde corte en el eje e, -en el punto P- se une con A’ y prolonga hasta que corte en B’ a la recta BO.
Se cumple así que los puntos homólogos están alineados con el centro O y que las rectas homólogas se cortan en puntos del eje.

Los homólogos no tienen por qué quedar del mismo lado del centro O.
Si nos dan dos puntos homólogos AA’, el centro O y el eje e, nos pueden pedir calcular el homólogo de otro punto dado, por ejemplo B.
Se alinea A con B y donde corte en el eje e, se une con A’ y prolonga hasta que corte en B’ a la recta BO.

Rectas límites

Una recta límite es la homóloga del infinito, la imagen que corresponde a la que está final de un plano. Un ejemplo lo tenemos en la línea del horizonte del mar que es la perspectiva de la línea del final del plano del mar, despreciando la curvatura del planeta que baja la línea de horizonte y la curva respecto a la línea límite u horizonte utilizada en geometría. Como hay dos planos, cada uno tiene su recta límite, la que corresponde al final del otro plano, en el dibujo son las dos rectas violetas, siempre paralelas al eje.

Para calcular las rectas límites de dos rectas homólogas a, a’ situadas en dos planos que se cortan en el eje e y con un centro de proyección O, se pasa por éste una recta n paralela a a', ésta corta al plano que contiene a la recta a en L. L es el punto límite de la recta a, u homólogo del que está en el infinito de a'. Si por el punto límite L se traza una recta paralela l al eje se tiene la recta límite del plano, que es la homóloga de la recta del infinito del plano. De ello se desprende que el plano Z es siempre paralelo a Z'. Para obtener la recta límite del otro plano se procede de igual forma.


El triángulo ABC tiene un punto (el A) en la recta límite, por lo que OA define la dirección de las rectas paralelas m’ n’ con el punto común de ambas en el infinito.
Para determinar la homóloga de una recta m (definida por AC), se une O con el punto límite de la recta, A.
La línea OA es la dirección de m’ y ésta tiene su punto doble sobre el eje, por lo que donde corta al eje (en C) hacemos una paralela a OA y esa es la homóloga m’ de m.

El triángulo rojo BCM está atravesado por una recta límite que lo corta en 2 puntos, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos homólogos del infinito, el triángulo homólogo B’C’M’ acotado por las tres rectas que lo definen tendrá por tanto 2 puntos en el infinito por lo que es el que aparece en color amarillo sobre el dibujo.

Si un triángulo ABC se corta en el eje, su homólogo A’B’C’ también se cortará en el eje en las recta s homólogas. Si 1 punto B queda separado del eje por los otros 2 puntos AC y su homólogo tiene los 3 puntos A’B’C’ del mismo lado del eje, su transformado ABC no está acotado, esto es, tiene elementos en el infinito.


Dado el triángulo A’B’C’ obtener su homólogo conociendo el homólogo de A’, A, el eje y el centro O.
Como el eje es el lugar geométrico de los puntos dobles (homólogos de sí mismos), el hecho de que A’B’C’ no corte al eje y ABC sí significa que el triángulo homólogo de A’B’C’ tiene 2 puntos en el infinito, esto es, el triángulo ABC es el señalado en verde, de B hacia el infinito y de éste a AC.

Dos triángulos homólogos que se cortan en el eje, los puntos de contacto de un triángulo con el eje tiene por homólogos a los mismos puntos, se dice que son homólogos de sí mismos (puntos dobles), con lo que el triángulo homólogo pasa por esos dos puntos. Como vemos en el dibujo sí una recta del triángulo se cortan el eje, la otra recta homóloga del otro triángulo también se corta en el mismo punto del eje. Si por el centro de proyección hacemos paralelas a esas dos rectas, en la intersección de cada recta con la otra recta no paralela tenemos un punto por el que pasa la recta límite siempre paralela al eje.

En este ejemplo práctico se ven dos rectas homólogas y las dos rectas paralelas a ellas por el centro de proyección O que determinan un paralelogramo en cuyos vértices opuestos pasan las rectas límites y por los otros vértices opuestos pasan el centro y el eje. Como es un paralelogramo en el que las rectas límites están en los vértices opuestos se desprende de ello que la distancia del centro a una recta límite es igual a la distancia del eje a la otra recta límite.

Se trata de transformar un triángulo cualquiera (en el dibujo en color azul) en un triángulo equilátero (en el dibujo en color violeta). Para construirlo prolongamos los lados del triángulo azul hasta que corte a dos rectas paralelas cualesquiera que vamos a considerar como eje y recta límite, para mayor facilidad en la construcción hemos pasado una de estas rectas por un vértice del triángulo S.
Mediante la prolongación de los lados del triángulo azul tenemos tres líneas que cortan a la recta límite en los tres puntos HGF. Tomamos los puntos HG y hacemos el arco capaz de 60° (ya que un triángulo equilátero tiene tres ángulos de 60° pues 180° dividido entre tres es igual a este ángulo) y hacemos lo mismo también con los otros dos puntos GF. Tenemos dos circunferencias en cuya intersección está el centro de proyección de la homología N, uniendo este centro con los tres puntos HGF tenemos las direcciones de los lados del nuevo triángulo equilátero. Al prolongar los lados del triángulo azul obtenemos el punto S y el punto I en la intersección con el eje. Por el primero hacemos dos rectas paralelas a las direcciones NG NF y por el segundo I hacemos una recta paralela a la dirección NH, estas tres líneas paralelas defienden el triángulo violeta equilátero, homólogo del triángulo azul dado.


http://los-angulos-en-la-circunferencia.blogspot.com.es/

Otro ejemplo donde se ven dos rectas homólogas que se cortan en el eje y las rectas límites equidistantes respectivamente del eje y centro de proyección.

Si un triángulo tiene un vértice sobre el eje implica que su homólogo también tendrá otro vértice sobre el mismo punto. La recta CA del triángulo se corta con la recta límite en el punto P’, la recta BC se corta en el punto P. El ángulo que forman las líneas OP OP’, es el ángulo real que forman los lados del triángulo.

Dos triángulos homólogos con sus rectas límites.

Dos puntos homólogos A A’ están alineados con el centro de proyección O y pertenecen a rectas homólogas r r ‘que se cortan en el eje. Haciendo por el centro de proyección O dos rectas paralelas a las rectas homólogas r r’, obtenemos en la intersección con sus prolongaciones dos puntos j’ K.
Por ambos puntos pasan las rectas límites paralelas al eje.

Dos rectas homólogas AB y A’B’ están dispuestas siempre de tal forma que los puntos límites de ambas están sobre un paralelogramo vértices opuestos, en el que los otros vértices opuestos son el centro de proyección O y el punto de intersección de las rectas homólogas o punto doble.

Afinidad

Afinidad: Una figura se transforma en otra mediante paralelas. Una superficie cilíndrica seccionada por dos planos cualesquiera genera dos formas afines: http://sistema-diedrico.blogspot.com/2010/11/curvas-y-superficies.html Si un cilindro atraviesa dos planos, las dos secciones que genera son afines por tener los puntos homólogos alineados con el centro de proyección en el infinito, que es el vértice del cilindro de generatrices paralelas. Como es una homología las rectas homólogas se siguen cortando en el eje. Para calcular la figura homóloga afín de otra, en este caso un pentágono irregular ABCDE y un punto afín E’, se prolonga una de las rectas DE hasta que corta al eje según el punto Q. El homólogo del punto E es un punto dado E’, por lo tanto la recta homóloga pasa por el punto Q y por E’ y el punto D’ se obtiene como intersección de la prolongación de la recta QE’ y la dirección de afinidad. Para obtener los demás puntos se procede de igual forma, hacemos otra recta que pasa por los puntos AE y la prolongamos hasta que corta en el eje en el punto P. Este punto doble lo unimos con el ya obtenido E’, obteniendo de esta forma el punto A’ en la intersección de la recta PE’ con la dirección de afinidad d incidente en el punto A. Dado un triángulo ABC, el homólogo afín C’ y la dirección de afinidad d, se trata de obtener el afín del triángulo. Se prolonga la recta AC hasta que corta del eje en un punto que lo unimos con C’, en su prolongación tenemos que corta a la dirección de afinidad en el punto A. Los demás puntos los obtenemos de igual forma teniendo en cuenta que las rectas afines se cortan en el eje todos los puntos afines están alineados en la misma dirección. Dos cuadriláteros afines con sus puntos alineados en la dirección de afinidad y sus rectas homólogas afines que se cortan en puntos del eje. La afinidad entre dos triángulos es un caso particular del teorema de Desargues. Si dos triángulos son axialmente perspectivos también lo son centralmente. Las rectas dobles que pasan por el centro de proyección, por estar éste en el infinito, son paralelas y ésta es la dirección de afinidad. Los rayos de sol por su lejanía se consideran paralelos por lo que la sombra de una forma plana sobre el suelo u otro plano son formas afines:

http://calculo-de-sombras.blogspot.com/

Un objeto plano reflejado en el espejo y su imagen son formas afines ya que se puede transformar uno en el otro mediante líneas paralelas y al prolongar los lados de las figuras se cortan en la intersección de los planos imaginarios que las contienen (el eje de afinidad):

http://calculo-de-reflejos.blogspot.com/

Homotecia: puntos homólogos alineados y lados de la figura homólogos paralelos.
La homotecia sirve para cambiar la escala de una figura: el azul es 3/1 mayor que el rosa o
el rosa 1/3 del azul.

Dos triángulos relacionados en una homotecia inversa por estar el centro de proyección O entre sus puntos homólogos. En una homotecia los lados de las figuras homólogas siempre son paralelos y la figura resultante de aplicar la homotecia es proporcional a la primera. Si no hay cambio de escala entre las dos figuras en una homotecia inversa, por ser su razón igual a uno, la homotecia es una simetría central.

Dos triángulos relacionados en una homotecia. Por ser un caso de la homología en la cual la recta eje está en el infinito, los lados homólogos son paralelos. De esta forma si nos dan un triángulo ABC y un punto homotético A’, al que se le debe aplicar una homotecia desde el centro O, hacemos las rectas que pasan por O y por los vértices del triángulo, por uno de los puntos dados A’, se traza una paralela a la recta AC hasta que corte a la recta OC en el punto C’. Por C’ se traza una paralela a la recta CB hasta que corta a la prolongación de OB en el punto B’, que unido al punto A’ define el triángulo de lados paralelos al dado.
La homotecia sirve para cambiar la escala de una figura por lo que ésta se mantiene invariable en su forma variando usualmente su tamaño.


En la homotecia observamos otro caso particular del teorema de Desargues, los vértices de los triángulos están alineados un centro de proyección y las rectas homólogas se cortan el eje. Éste caso especial sirve para verificar el teorema, si cada par de rectas homólogas o lados del triángulo se cortan en un punto del infinito por ser paralelas, los tres lados se cortan con sus homólogos afines en tres puntos del infinito que no pueden estar en otro lado que en la recta del infinito, ya que todo plano contiene una única recta en el infinito, por lo tanto están alineados.

En una homotecia en el espacio, las figuras homotéticas están cada una sobre un plano distinto y estos planos son paralelos entre sí, de esta forma ambos planos se cortan en el infinito por ser paralelos, por eso decimos que el eje de la homología o recta de intersección de ambos planos está en el infinito.

El triángulo rojo se transforma en el amarillo desde un centro de homotecia O, con la única condición de que los planos que contienen a ambas figuras sean paralelos, de esta manera lo que se produce es un cambio de escala en la que ambas figuras mantienen de forma invariable el paralelismo, esto quiere decir que los segmentos homotéticos AB y A'B' son paralelos, así como los demás lados de ambos triángulos.

http://proporcion-escala-semejanza-homotecia.blogspot.com/

Homotecia afín: una figura se traslada resultando invariante su forma. Resulta en consecuencia una figura igual, idéntica a la primera. Cuando en una homología se da una homotecia y al mismo tiempo una afinidad resulta una homotecia afín. En la homotecia el eje está en el infinito, en la afinidad está el centro del infinito, en la homotecia afín están el centro y el eje en el infinito. De esta manera, como los puntos homólogos relacionados en una homotecia afín están alineados con un centro de proyección en el infinito y sus lados homólogos también están alineados con un punto del infinito del eje de la homotecia afín impropia, las figuras relacionadas son idénticas. De la dirección de afinidad resulta que una figura se transforma en otra mediante una traslación, en una identidad en la forma y tamaño de las figuras.